Благовещенский собор Московского Кремля
Один из древнейших храмов Московского Кремля стоит на краю Соборной площади на бровке Боровицкого холма. Много веков...
Тему многоугольников проходят в школьной программе, но не уделяют ей достаточного внимания. А между тем она интересна, и особенно это касается правильного шестиугольника или гексагона - ведь эту форму имеют многие природные объекты. К ним относятся пчелиные соты и многое другое. Эта форма очень хорошо применяется на практике.
Правильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов.
Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника
то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.
Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.
Пошаговая инструкция будет выглядеть так:
При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.
Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.
Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:
Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:
Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.
Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ - равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.
После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС - очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:
Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.
Ну а площадь этой окружности будет стандартная:
Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника. Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается. Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.
Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:
h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2
А поскольку R=a и r=h, то получается, что
r=R(√3)/2 .
Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.
Ее площадь будет составлять:
S=3πa²/4 ,
то есть три четверти от описанной.
С периметром все ясно, это сумма длин сторон:
P=6а , или P=6R
А вот площадь будет равна сумме всех шести треугольников, на которые можно разбить гексагон. Поскольку площадь треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту, то:
S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или
S=3R²(√3)/2
Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:
S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)
В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:
Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников - равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам - ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:
Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:
Таким образом, фигура отвечает признакам правильного шестиугольника - у нее шесть равных сторон и углов. Из равенства треугольников при вершинах легко вывести длину стороны нового гексагона:
d=а(√3)/3
Она же будет радиусом описанной вокруг него окружности. Радиус вписанной будет вдвое меньше стороны большого шестиугольника, что было доказано при рассмотрении треугольника АВС. Его высота составляет как раз половину стороны, следовательно, вторая половина - это радиус вписанной в маленький гексагон окружности:
r₂=а/2
S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2
Получается, что площадь гексагона внутри звезды Давида в три раза меньше, чем у большого, в который вписана звезда.
Свойства шестиугольника очень активно используются как в природе, так и в различных областях деятельности человека. В первую очередь это касается болтов и гаек - шляпки первых и вторые представляют собой ничто иное, как правильный шестигранник, если не брать в расчет фаски. Размер гаечных ключей соответствует диаметру вписанной окружности - то есть расстоянию между противоположными гранями.
Нашла свое применение и гексагональная плитка. Она распространена куда меньше четырехугольной, но класть ее удобнее: в одной точке смыкаются три плитки, а не четыре. Композиции могут получаться очень интересные:
Выпускается и бетонная плитка для мощения.
Распространенность гексагона в природе объясняется просто. Таким образом, проще всего плотно уместить круги и шары на плоскости, если у них одинаковый диаметр. Из-за этого у пчелиных сот такая форма.
Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника. Построение правильного пятиугольника по данной его стороне. Переставьте иглу циркуля в точку пересечения только что начерченной дуги с окружностью. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля. Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Постройте точки вершин углов правильного шестиугольника.
Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.
Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника.
В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй-коэффициенты. Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.
Тема этого видеоурока – «Построение правильных многоугольников». Также еще раз дадим определение правильному многоугольнику, изобразим его графически, после чего еще раз убедимся, что центры вписанной и описанной окружностей вокруг такой фигуры будут совпадать. В этот многоугольник всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. В ходе предыдущих уроков мы выяснили, что базовую роль для описания свойств многоугольников играют биссектрисы его углов и серединные перпендикуляры к его сторонам.
4. Получили искомый правильный треугольник АВС. Задача решена. 3. Поместив одну ножку циркуля в произвольную точки А1 на окружности, при помощи второй ножки отметим на той же окружности точку А2 и соединим ее с точкой А1. Получим первую сторону шестиугольника. 3. При помощи серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника, опущенным из точки О, разделим все его стороны и все дуги окружности, заключенные между его соседними вершинами, пополам.
Геометрические построения являются одной из важных частей обучения. Игла должна проткнуть начерченную линию. Чем точнее будет установлен циркуль, тем точнее будет построение. Начертите еще одну дугу, пересекающую окружность. Последовательно соедините все шесть точек пересечения дуг с первоначально начерченной окружностью. В этом случае шестиугольник может получиться неправильным.
Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра. Центры обеих окружностей совпадают (точка О на Рис. 1). Также на рисунке приведены радиусы описанной (R) и вписанной (r) окружностей.
Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. На данном занятии мы рассмотрим способы построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник. Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.
Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой (фиг. 60, а).
Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 -6, 4-3, 4-5 и 7-2, после чего проводим стороны 5-6 и 3-2.
Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника . Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля.
Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.
Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0-1-2 равен 30°, то для нахождения стороны
1-2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0-1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1-2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.
Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.
Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину-точку 1 и проводим диаметральную линию 1-4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.
Построение квадрата, вписанного в окружность . Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.
Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4-1 и 3-2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.
Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до взаимного их пересечения.
Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные прямые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересечения с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.
Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.
Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.
Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вершины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.
Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.
Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.
Получим точку 1-вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.
Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.
Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / - // - /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.
Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.
Деление окружности на любое число равных частей можно производить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэффициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.
Геометрические построения являются одной из главных частей обучения. Они формируют пространственное и логическое мышление, а также разрешают понять примитивные и натуральные геометрические обоснованности. Построения производятся на плоскости при помощи циркуля и линейки. Этими инструментами дозволено возвести крупное число геометрических фигур. При этом многие фигуры, кажущиеся довольно трудными, строятся с использованием простейших правил. Скажем, то, как возвести верный шестиугольник, дозволено описать каждого в нескольких словах.
Вам понадобится
1. Нарисуйте окружность. Установите некоторое расстояние между ножками циркуля. Это расстояние будет являться радиусом окружности. Выберите радиус таким образом, дабы вычерчивание окружности было довольно комфортным. Окружность должна всецело помещаться на листе бумаги. Слишком огромное либо слишком маленькое расстояние между ножками циркуля может привести к его изменению во время черчения. Оптимальным будет расстояние, при котором угол между ножками циркуля равен 15-30 градусов.
2. Постройте точки вершин углов верного шестиугольника. Установите ножку циркуля, в которой закреплена игла, в всякую точку окружности. Игла должна проткнуть начерченную линию. Чем вернее будет установлен циркуль, тем вернее будет построение. Проведите дугу окружности так, дабы она пересекла начерченную ранее окружность. Переставьте иглу циркуля в точку пересечения только что начерченной дуги с окружностью. Начертите еще одну дугу, пересекающую окружность. Вновь переставьте иглу циркуля в точку пересечения дуги и окружности и вновь начертите дугу. Произведите данное действие еще три раза, перемещаясь в одном направлении по окружности. Каждого должно получиться шесть дуг и шесть точек пересечения.
3. Постройте положительный шестиугольник. Ступенчато объедините все шесть точек пересечения дуг с изначально начерченной окружностью. Соединяйте точки прямыми, вычерчиваемыми при помощи линейки и карандаша. Позже произведенных действий будет получен верный шестиугольник, вписанный в окружность.
Шестиугольником считается многоугольник, владеющий шестью углами и шестью сторонами. Многоугольники бывают как выпуклыми, так и вогнутыми. У выпуклого шестиугольника все внутренние углы тупые, у вогнутого один либо больше угол является острым. Шестиугольник довольно легко возвести. Это делается в пару шагов.
Вам понадобится
1. Берется лист бумаги и на нем отмечается 6 точек приблизительно так, как это показано на рис. 1.
2. Позже того, как были подмечены точки, берется линейка, карандаш и с их подмогой ступенчато, друг за ином соединяются точки так, как это выглядит на рис. 2.
Видео по теме
Обратите внимание!
Сумма всех внутренних углов шестиугольника равна 720 градусам.
Шестиугольник – это многоугольник, тот, что владеет шестью углами. Для того, дабы начертить произвольный шестиугольник, надобно проделать каждого 2 действия.
Вам понадобится
1. Нужно взять в руку карандаш и разметить на листе 6 произвольных точек. В дальнейшем эти точки будут исполнять роль углов в шестиугольнике. (рис.1)
2. Взять линейку и начертить по данным точкам 6 отрезков, которые бы соединялись друг с ином по начерченным ранее точкам (рис.2)
Видео по теме
Обратите внимание!
Специальным типом шестиугольника является положительный шестиугольник. Он именуется таковым потому, что все его стороны и углы равны между собой. Вокруг такого шестиугольника дозволено описать либо вписать окружность. Стоит подметить, что в точках, которые получились путем касания вписанной окружности и сторон шестиугольника, стороны положительного шестиугольника делятся напополам.
Полезный совет
В природе положительные шестиугольники владеют крупный популярностью. К примеру, вся пчелиная сота владеет положительной шестиугольной формой. Либо кристаллическая решетка графена (модификация углерода) тоже владеет формой положительного шестиугольника.
Как возвести тот либо другой угол – крупной вопрос. Но для некоторых углов задача невидимо упрощается. Одним из таких углов является угол в 30 градусов. Он равен?/6, то есть число 30 является делителем 180. Плюс к этому его синус вестим. Это и помогает при его построении.
Вам понадобится
1. Для начала разглядим особенно примитивную обстановку, когда у вас на руках есть транспортир. Тогда прямую под углом 30 градусов к данной дозволено легко отложить с поддержкой него.
2. Помимо транспортира существуют и угол ьники, один из углов которых равен 30 градусам. Тогда иной угол угол ьника будет равен 60 градусам, то есть вам необходим визуально меньший угол для построения требуемой прямой.
3. Перейдем сейчас к нетривиальным способам построения угла 30 градусов. Как вестимо, синус угла 30 градусов равен 1/2. Для его построения нам надобно возвести прямоугол ьный треугол ьник. Возможен, мы можем возвести две перпендикулярные прямые. Но тангенс 30 градусов – иррациональное число, следственно соотношение между катетами мы можем посчитать лишь примерно (исключительно, если нет калькулятора), а, значит, и возвести угол в 30 градусов примерно.
4. В этом случае дозволено сделать и точное построение. Возведем вновь две перпендикулярные прямые, на которых будут располагаться катеты прямоугол ьного треугол ьника. Отложим по одной прямой катет BC какой-нибудь длины с поддержкой циркуля (B – прямой угол ). После этого увеличим длину между ножками циркуля в 2 раза, что элементарно. Проводя окружность с центром в точке C с радиусом этой длины, обнаружим точку пересечения окружности с иной прямой. Эта точка и будет точкой A прямоугол ьного треугол ьника ABC, а угол A будет равен 30 градусам.
5. Возвести угол в 30 градусов дозволено и с поддержкой окружности, применяя то, что он равен?/6. Возведем окружность с радиусом OB. Разглядим в теории треугол ьник, где OA = OB = R – радиус окружности, где угол OAB = 30 градусов. Пускай OE – высота этого равнобедренного треугол ьника, а, следственно, и его биссектриса и медиана. Тогда угол AOE = 15 градусов, и, по формуле половинного угла, sin(15o) = (sqrt(3)-1)/(2*sqrt(2)).Следственно, AE = R*sin(15o). Отсель, AB = 2AE = 2R*sin(15o). Строя окружность радиусом BA с центром в точке B, обнаружим точку пересечения A этой окружности с начальной. Угол AOB будет равен 30 градусам.
6. Если мы можем определять длину дуг каким-нибудь образом, то, отложив дугу длиной?*R/6, мы также получим угол в 30 градусов.
Обратите внимание!
Нужно помнить, что в 5 пункте мы можем возвести угол лишь приближенно, потому что в вычислениях будут фигурировать иррациональные числа.
Шестиугольником называют частный случай полигона – фигуры, образованной большинством точек плоскости, ограниченным замкнутой полилинией. Положительный шестиугольник (гексагон), в свою очередь, также является частным случаем – это полигон с шестью равными сторонами и равными углами. Эта фигура знаменательна тем, что длина всей из ее сторон равна радиусу описанной вокруг фигуры окружности.
Вам понадобится
1. Выберите длину стороны шестиугольника. Возьмите циркуль и установите расстояние между концом иглы, расположенной на одной из его ножек, и концом грифеля, расположенным на иной ножке, равным длине стороны вычерчиваемой фигуры. Для этого дозволено воспользоваться линейкой либо предпочесть случайное расстояние, если данный момент несущественен. Зафиксируйте ножки циркуля винтом, если есть такая вероятность.
2. Нарисуйте окружность при помощи циркуля. Выбранное расстояние между ножками будет являться радиусом окружности.
3. Разбейте окружность точками на шесть равных частей. Эти точки будут являться вершинами углов шестиугольника и, соответственно, окончаниями отрезков, представляющих его стороны.
4. Ножку циркуля с иглой установите в произвольную точку, находящуюся на линии очерченной окружности. Игла должна верно проткнуть линию. От точности установки циркуля напрямую зависит точность построений. Очертите циркулем дугу так, дабы она пересекла в 2-х точках окружность, начерченную первой.
5. Переставьте ножку циркуля с иглой в одну из точек пересечения начерченной дуги с изначальной окружностью. Вычертите еще одну дугу, также пересекающую окружность в 2-х точках (одна из них совпадет с точкой предыдущего расположения иглы циркуля).
6. Сходственным же образом переставляйте иглу циркуля и вычерчивайте дуги еще четыре раза. Перемещайте ножку циркуля с иглой в одном направлении по окружности (неизменно по либо вопреки часовой стрелки). В итоге обязаны быть выявлены шесть точек пересечения дуг с изначально построенной окружностью.
7. Нарисуйте положительный шестиугольник. Ступенчато попарно объедините отрезками полученные на предыдущем шаге шесть точек. Вычерчивайте отрезки при помощи карандаша и линейки. В итоге будет получен верный шестиугольник. Позже осуществления построения дозволено стереть вспомогательные элементы (дуги и окружность).
Обратите внимание!
Имеет толк выбирать такое расстояние между ножками циркуля, дабы угол между ними был равен 15-30 градусов, напротив при осуществлении построений данное расстояние может легко сбиться.
При строительстве либо разработке домашних дизайн-планов зачастую требуется возвести угол , равный теснее имеющемуся. На поддержка приходят образцы и школьные умения геометрии.
1. Угол образуют две прямые, исходящие из одной точки. Эта точка будет именоваться вершиной угла, а линии будут являться сторонами угла.
2. Для обозначения углов используйте три буквы: одна у вершины, две у сторон. Называют угол , начиная с той буквы, которая стоит у одной стороны, дальше называют букву, стоящую у вершины, и после этого букву у иной стороны. Используйте и другие методы для обозначения углов, если вам комфортнее напротив. Изредка называют только одну букву, которая стоит у вершины. А дозволено обозначать углы греческими буквами, скажем, α, β, γ.
3. Встречаются обстановки, когда нужно начертить угол , дабы он был равен теснее данному углу. Если при построении чертежа применять транспортир вероятности нет, дозволено обойтись только линейкой и циркулем. Возможен, на прямой, обозначенной на чертеже буквами MN, надобно возвести угол у точки К, так, дабы он был равен углу В. То есть из точки K нужно провести прямую, образующую с линией MN угол , тот, что будет равен углу В.
4. В начале подметьте по точке на всей стороне данного угла, скажем, точки А и С, дальше объедините точки С и А прямой линией. Получите треугол ьник АВС.
5. Теперь постройте на прямой MN такой же треугол ьник, дабы его вершина В находилась на линии в точке К. Используйте правило построения треугол ьника по трем сторонам. Отложите от точки К отрезок KL. Он должен быть равен отрезку ВС. Получите точку L.
6. Из точки K вычертите окружность радиусом равным отрезку ВА. Из L вычертите окружность радиусом СА. Полученную точку (Р) пересечения 2-х окружностей объедините с К. Получите треугол ьник КPL, тот, что будет равен треугол ьнику ABC. Так вы получите угол К. Он и будет равен углу В. Дабы это построение сделать комфортнее и стремительней, от вершины В отложите равные отрезки, применяя один раствор циркуля, не сдвигая ножек, опишите этим же радиусом из точки К окружность.
Видео по теме
Обратите внимание!
Избегайте случайного метаморфозы расстояния между ножками циркуля. В этом случае шестиугольник может получиться неправильным.
Полезный совет
Имеет толк изготавливать построения при помощи циркуля с отлично заточенным грифелем. Так построения будут особенно точны.
Сетки из шестиугольников (гексагональные сетки) используются в некоторых играх, но они не так просты и распространены, как сетки прямоугольников. Я коллекционирую ресурсы о сетках шестиугольников уже почти 20 лет, и написал это руководство по самым элегантным подходам, реализуемым в простейшем коде. В статье часто используются руководства Чарльза Фу (Charles Fu) и Кларка Вербрюгге (Clark Verbrugge). Я опишу различные способы создания сеток шестиугольников, их взаимосвязь, а также самые общие алгоритмы. Многие части этой статьи интерактивны: выбор типа сетки изменяет соответствующие схемы, код и тексты. (Прим. пер.: это относится только к оригиналу, советую его изучить. В переводе вся информация оригинала сохранена, но без интерактивности.)
.
Примеры кода в статье написаны псевдокодом, так их легче читать и понимать, чтобы написать свою реализацию.
Шестиугольники с плоским (слева) и острым (справа) верхом
У шестиугольников по 6 граней. Каждая грань общая для двух шестиугольников. У шестиугольников по 6 угловых точек. Каждая угловая точка общая для трёх шестиугольников. Подробнее о центрах, гранях и угловых точках можно прочитать в моей статье о частях сеток (квадратах, шестиугольниках и треугольниках).
Function hex_corner(center, size, i):
var angle_deg = 60 * i + 30
var angle_rad = PI / 180 * angle_deg
return Point(center.x + size * cos(angle_rad), center.y + size * sin(angle_rad))
Для заполнения шестиугольника нужно получить вершины многоугольника с hex_corner(…, 0) по hex_corner(…, 5) . Для отрисовки контура шестиугольника нужно использовать эти вершины, а затем нарисовать линию снова в hex_corner(…, 0) .
Разница между двумя ориентациями в том, что x и y меняются местами, что приводит к изменению углов: углы шестиугольников с плоским верхом равны 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, а с острым верхом - 30°, 90°, 150°, 210°, 270°, 330°.
Углы шестиугольников с плоским и острым верхом
Ширина шестиугольника width = sqrt(3)/2 * height . Горизонтальное расстояние между соседними шестиугольниками horiz = width .
В некоторых играх для шестиугольников используется пиксель-арт, который не точно соответствует правильным шестиугольникам. Формулы углов и расположений, описанные в этом разделе, не будут совпадать с размерами таких шестиугольников. Остальная часть статьи, описывающая алгоритмы сеток шестиугольников, применима даже если шестиугольники немного растянуты или сжаты.
Горизонтальное расположение «нечет-r»
Горизонтальное расположение «чёт-r»
Вертикальное расположение «нечет-q»
Вертикальное расположение «чёт-q»
Возьмём сетку кубов и вырежем диагональную плоскость в x + y + z = 0 . Это странная мысль, но она поможет нам упростить алгоритмы сеток шестиугольников. В частности, мы сможем воспользоваться стандартными операциями из декартовых координат: суммированием и вычитанием координат, умножением и делением на скалярную величину, а также расстояниями.
Заметьте три основные оси на сетке кубов и их соотношение с шестью диагональными направлениями сетки шестиугольников. Диагональные оси сетки соответствуют основному направлению сетки шестиугольников.
Поскольку у нас уже есть алгоритмы для сеток квадратов и кубов, использование кубических координат позволяет нам адаптировать эти алгоритмы под сетки шестиугольников. я буду использовать эту систему для большинства алгоритмов статьи. Для использования алгоритмов с другой системой координат я преобразую кубические координаты, выполню алгоритм, а затем преобразую их обратно.
Изучите, как кубические координаты работают для сетки шестиугольников. При выборе шестиугольников выделяются кубические координаты, соответствующие трём осям.
Существует множество различных систем координат для кубов и шестиугольников. В некоторых из них условие отличается от x + y + z = 0 . Я показал только одну из множества систем. Можно также создать кубические координаты с x-y , y-z , z-x , у которых будет свой набор интересных свойств, но я не буду их здесь рассматривать.
Но вы можете возразить, что не хотите хранить 3 числа для координат, потому что не знаете, как хранить карту в таком виде.
Существует множество кубических систем координат и множество осевых. В этом руководстве я не буду рассматривать все сочетания. Я выберу две переменные, q (столбец) и r (строка). В схемах этой статьи q соответствует x , а r соответствует z , но такое соответствие произвольно, потому что можно вращать и поворачивать схемы, получая различные соответствия.
Преимущество этой системы перед сетками смещений в большей понятности алгоритмов. Недостатком системы является то, что хранение прямоугольной карты выполняется немного странно; см. раздел о сохранении карт. Некоторые алгоритмы ещё понятнее в кубических координатах, но поскольку у нас есть условие x + y + z = 0 , мы можем вычислить третью подразумеваемую координату и использовать её в этих алгоритмах. В своих проектах я называю оси q , r , s , поэтому условие выглядит как q + r + s = 0 , и я, когда нужно, могу вычислить s = -q - r .
Ось - это направление, в котором соответствующая координата увеличивается. Перпендикуляр к оси - это линия, на которой координата остаётся постоянной. На схемах сеток выше показаны линии перпендикуляров.
Осевые координаты близко связаны с кубическими, поэтому преобразование делается просто:
# преобразование кубических в осевые координаты
q = x
r = z
# преобразование осевых в кубические координаты
x = q
z = r
y = -x-z
В коде эти две функции могут быть записаны следующим образом:
Function cube_to_hex(h): # осевая
var q = h.x
var r = h.z
return Hex(q, r)
function hex_to_cube(h): # кубическая
var x = h.q
var z = h.r
var y = -x-z
return Cube(x, y, z)
Координаты смещения совсем немного сложнее:
Var directions = [
Cube(+1, -1, 0), Cube(+1, 0, -1), Cube(0, +1, -1),
Cube(-1, +1, 0), Cube(-1, 0, +1), Cube(0, -1, +1)
]
function cube_direction(direction):
return directions
function cube_neighbor(hex, direction):
return cube_add(hex, cube_direction(direction))
Var directions = [
Hex(+1, 0), Hex(+1, -1), Hex(0, -1),
Hex(-1, 0), Hex(-1, +1), Hex(0, +1)
]
function hex_direction(direction):
return directions
function hex_neighbor(hex, direction):
var dir = hex_direction(direction)
return Hex(hex.q + dir.q, hex.r + dir.r)
Как и раньше, мы создаём таблицу чисел, которые нужно прибавить к col and row . Однако на этот раз у нас будет два массива, один для нечётных столбцов/строк, а другой - для чётных. Посмотрите на (1,1) на рисунке карты сетки выше и заметьте, как меняются col и row меняются при перемещении в каждом из шести направлений. Теперь повторим процесс для (2,2) . Таблицы и код будут разными для каждого из четырёх типов сеток смещений, приводим соответствующий код для каждого типа сетки.
Нечет-r
var directions = [
[ Hex(+1, 0), Hex(0, -1), Hex(-1, -1),
Hex(-1, 0), Hex(-1, +1), Hex(0, +1) ],
[ Hex(+1, 0), Hex(+1, -1), Hex(0, -1),
Hex(-1, 0), Hex(0, +1), Hex(+1, +1) ]
]
function offset_neighbor(hex, direction):
var parity = hex.row & 1
var dir = directions
return Hex(hex.col + dir.col, hex.row + dir.row)
Чёт-r
var directions = [
[ Hex(+1, 0), Hex(+1, -1), Hex(0, -1),
Hex(-1, 0), Hex(0, +1), Hex(+1, +1) ],
[ Hex(+1, 0), Hex(0, -1), Hex(-1, -1),
Hex(-1, 0), Hex(-1, +1), Hex(0, +1) ]
]
function offset_neighbor(hex, direction):
var parity = hex.row & 1
var dir = directions
return Hex(hex.col + dir.col, hex.row + dir.row)
Сетка для чётной (EVEN) и нечётной (ODD) строк
Нечет-q
var directions = [
[ Hex(+1, 0), Hex(+1, -1), Hex(0, -1),
Hex(-1, -1), Hex(-1, 0), Hex(0, +1) ],
[ Hex(+1, +1), Hex(+1, 0), Hex(0, -1),
Hex(-1, 0), Hex(-1, +1), Hex(0, +1) ]
]
function offset_neighbor(hex, direction):
var parity = hex.col & 1
var dir = directions
return Hex(hex.col + dir.col, hex.row + dir.row)
Чёт-q
var directions = [
[ Hex(+1, +1), Hex(+1, 0), Hex(0, -1),
Hex(-1, 0), Hex(-1, +1), Hex(0, +1) ],
[ Hex(+1, 0), Hex(+1, -1), Hex(0, -1),
Hex(-1, -1), Hex(-1, 0), Hex(0, +1) ]
]
function offset_neighbor(hex, direction):
var parity = hex.col & 1
var dir = directions
return Hex(hex.col + dir.col, hex.row + dir.row)
Сетка для чётного (EVEN) и нечётного (ODD) столбцов
Var diagonals = [
Cube(+2, -1, -1), Cube(+1, +1, -2), Cube(-1, +2, -1),
Cube(-2, +1, +1), Cube(-1, -1, +2), Cube(+1, -2, +1)
]
function cube_diagonal_neighbor(hex, direction):
return cube_add(hex, diagonals)
Как и раньше, мы можем преобразовать эти координаты в осевые, откинув одну из трёх координат, или преобразовать в координаты смещения, предварительно вычислив результаты.
Function cube_distance(a, b):
return (abs(a.x - b.x) + abs(a.y - b.y) + abs(a.z - b.z)) / 2
Эквивалентом этой записи будет выражение того, что одна из трёх координат должна быть суммой двух других, а затем получение её в качестве расстояния. Можно выбрать форму деления пополам или форму максимального значения, приведённую ниже, но они дают одинаковый результат:
Function cube_distance(a, b):
return max(abs(a.x - b.x), abs(a.y - b.y), abs(a.z - b.z))
На рисунке максимальные значения выделены цветом. Заметьте также, что каждый цвет обозначает одно из шести «диагональных» направлений.
GIF
Function hex_distance(a, b):
var ac = hex_to_cube(a)
var bc = hex_to_cube(b)
return cube_distance(ac, bc)
Если компилятор в вашем случае встраивает (inline) hex_to_cube и cube_distance , то он сгенерирует такой код:
Function hex_distance(a, b):
return (abs(a.q - b.q)
+ abs(a.q + a.r - b.q - b.r)
+ abs(a.r - b.r)) / 2
Существует множество различных способов записи расстояний между шестиугольниками в осевых координатах, но вне зависимости от способа записи расстояние между шестиугольниками в осевой системе извлекается из манхэттенского расстояния в кубической системе
. Например, описанная «разность разностей» получается из записи a.q + a.r - b.q - b.r как a.q - b.q + a.r - b.r и с использованием формы максимального значения вместо формы деления пополам cube_distance . Все они аналогичны, если увидеть связь с кубическими координатами.
Function offset_distance(a, b):
var ac = offset_to_cube(a)
var bc = offset_to_cube(b)
return cube_distance(ac, bc)
Мы будем использовать тот же шаблон для многих алгоритмов: преобразуем из шестиугольников в кубы, выполняем кубическую версию алгоритма и преобразуем кубические результаты в координаты шестиугольников (осевые или координаты смещения).
GIF
Function lerp(a, b, t): // для float
return a + (b - a) * t
function cube_lerp(a, b, t): // для шестиугольников
return Cube(lerp(a.x, b.x, t),
lerp(a.y, b.y, t),
lerp(a.z, b.z, t))
function cube_linedraw(a, b):
var N = cube_distance(a, b)
var results =
for each 0 ≤ i ≤ N:
results.append(cube_round(cube_lerp(a, b, 1.0/N * i)))
return results
Примечания:
Мы можем произвести обратную работу из формулы расстояния между шестиугольниками distance = max(abs(dx), abs(dy), abs(dz)) . Чтобы найти все шестиугольники в пределах N , нам нужны max(abs(dx), abs(dy), abs(dz)) ≤ N . Это значит, что нужны все три значения: abs(dx) ≤ N и abs(dy) ≤ N и abs(dz) ≤ N . Убрав абсолютное значение, мы получим -N ≤ dx ≤ N и -N ≤ dy ≤ N и -N ≤ dz ≤ N . В коде это будет вложенный цикл:
Var results =
for each -N ≤ dx ≤ N:
for each -N ≤ dy ≤ N:
for each -N ≤ dz ≤ N:
if dx + dy + dz = 0:
results.append(cube_add(center, Cube(dx, dy, dz)))
Этот цикл сработает, но будет довольно неэффективным. Из всех значений dz , которые мы перебираем в цикле, только одно действительно удовлетворяет условию кубов dx + dy + dz = 0 . Вместо этого мы напрямую вычислим значение dz , удовлетворяющее условию:
Var results =
for each -N ≤ dx ≤ N:
for each max(-N, -dx-N) ≤ dy ≤ min(N, -dx+N):
var dz = -dx-dy
results.append(cube_add(center, Cube(dx, dy, dz)))
Этот цикл проходит только по нужным координатам. На рисунке каждый диапазон является парой линий. Каждая линия - это неравенство. Мы берём все шестиугольники, удовлетворяющие шести неравенствам.
GIF
Можно подойти к этой проблеме с точки зрения алгебры или геометрии. Алгебраически каждая область выражается как условия неравенств в форме -N ≤ dx ≤ N , и нам нужно найти пересечение этих условий. Геометрически каждая область является кубом в трёхмерном пространстве, и мы пересечём два куба в трёхмерном пространстве для получения прямоугольного параллелепипеда в трёхмерном пространстве. Затем мы проецируем его обратно на плоскость x + y + z = 0 , чтобы получить шестиугольники. Я буду решать эту задачу алгебраически.
Во-первых, мы перепишем условие -N ≤ dx ≤ N в более общей форме x min ≤ x ≤ x max , и примем x min = center.x - N и x max = center.x + N . Сделаем то же самое для y и z , в результате получив общий вид кода из предыдущего раздела:
Var results =
for each xmin ≤ x ≤ xmax:
for each max(ymin, -x-zmax) ≤ y ≤ min(ymax, -x-zmin):
var z = -x-y
results.append(Cube(x, y, z))
Пересечением двух диапазонов a ≤ x ≤ b и c ≤ x ≤ d является max(a, c) ≤ x ≤ min(b, d) . Поскольку область шестиугольников выражена как диапазоны над x , y , z , мы можем отдельно пересечь каждый из диапазонов x , y , z , а затем использовать вложенный цикл для генерирования списка шестиугольников в пересечении. Для одной области шестиугольников мы принимаем x min = H.x - N and x max = H.x + N , аналогично для y и z . Для пересечения двух областей шестиугольников мы принимаем x min = max(H1.x - N, H2.x - N) и x max = min(H1.x + N, H2.x + N), аналогично для y и z . Тот же шаблон работает для пересечения трёх или более областей.
GIF
Function cube_reachable(start, movement): var visited = set() add start to visited var fringes = fringes.append() for each 1 < k ≤ movement: fringes.append() for each cube in fringes: for each 0 ≤ dir < 6: var neighbor = cube_neighbor(cube, dir) if neighbor not in visited, not blocked: add neighbor to visited fringes[k].append(neighbor) return visited
Поворот на 60° вправо сдвигает каждую координату на одну позицию вправо:
[ x, y, z]
to [-z, -x, -y]
Поворот на 60° влево сдвигает каждую координату на одну позицию влево:
[ x, y, z]
to [-y, -z, -x]
Вот полная последовательность поворота положения P вокруг центрального положения C, приводящего к новому положению R:
Function cube_ring(center, radius):
var results =
# этот код не работает для radius == 0; вы понимаете, почему?
var cube = cube_add(center,
cube_scale(cube_direction(4), radius))
for each 0 ≤ i < 6:
for each 0 ≤ j < radius:
results.append(cube)
cube = cube_neighbor(cube, i)
return results
В этом коде cube начинается на кольце, показанном большой стрелкой от центра к углу схемы. Я выбрал для начала угол 4, потому что он соответствует пути, в котором двигаются мои числа направлений. Вам может понадобиться другой начальный угол. На каждом этапе внутреннего цикла cube двигается на один шестиугольник по кольцу. Через 6 * radius шагов он завершает там, где начал.
Function cube_spiral(center, radius):
var results =
for each 1 ≤ k ≤ radius:
results = results + cube_ring(center, k)
return results
Обход шестиугольников таким способом можно также использовать для вычисления диапазона перемещения (см. выше).
Этот алгоритм может быть медленным на больших площадях, но его легко реализовать, поэтому рекомендую начать с него.
GIF
Я хочу в дальнейшем расширять это руководство. У меня есть