Загадочный беспорядок: история фракталов и области их применения. Что такое фрактал? Фракталы в природе

Я обнаружил этот фрактал, когда разглядывал интерференцию волн на поверхности речки. Волна движется к берегу, отражается и накладывается сама на себя. Есть ли порядок в тех узорах, которые создаются волнами? Попробуем найти его. Рассмотрим не всю волну, а только вектор ее движения. «Берега» сделаем гладкими, для простоты эксперимента.

Эксперимент можно провести на обычном листке в клеточку из школьной тетради.

Или используя JavaScript реализацию алгоритма.

Возьмем прямоугольник со сторонами q и p. Отправим луч (вектор) из угла в угол. Луч двигается к одной из сторон прямоугольника, отражается и продолжает движение к следующей стороне. Это продолжается до тех пор, пока луч не попадет в один из оставшихся углов. Если размер стороны q и p - взаимно просты числа, то получается узор (как мы увидим позже - фрактал).

На картинке мы ясно видим, как работает этот алгоритм.

Gif-анимация:

Самое удивительное то, что с разными сторонами прямоугольника - получаем разные узоры.

Почему я называю эти узоры фракталами? Как известно, «фрактал» - это геометрическая фигура, обладающая свойствами самоподобия. Часть картинки повторяет всю картинку в целом. Если значительно увеличить размеры сторон Q и P - ясно, что эти узоры обладают свойствами самоподобия.

Попробуем увеличить. Увеличивать будем хитрым способом. Возьмем, например, узор 17x29. Следующие узоры будут: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Одна сторона: F(n);
Вторая сторона: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Как числа Фибоначчи, только с другими первым и вторым членом последовательности: F(0)=17, F(1)=29.

Если большая сторона четная, получается такой узор:

Если меньшая сторона четная:

Если обе стороны нечетные - получаем симметрический узор:

В зависимости от того, как начинается луч:

или

Попробую объяснить, что происходит в этих прямоугольниках.

Отделим от прямоугольника квадрат, и посмотрим, что происходит на границе.

Луч выходит в той-же точке, откуда зашел.

При этом, количество квадратиков, которые проходит луч - всегда четное число.

Поэтому, если отрезать от прямоугольника квадрат - останется не измененная часть фрактала.

Если отделять от фрактала квадраты столько раз, сколько это возможно - можно добраться до «начала» фрактала.

Похоже на спираль Фибоначчи?

Из чисел Фибоначчи тоже можно получить фракталы.

В математике числами Фибоначчи (ряд Фибоначчи, последовательность Фибоначчи) называют числа:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
По определению, первые две цифры в последовательности Фибоначчи 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

Поехали:

Как мы видим, чем ближе отношение сторон приближается к золотому сечению - тем больше детализация фрактала.

При этом фрактал повторяет часть фрактала, увеличенного на .

Вместо чисел Фибоначчи можно использовать иррациональные размеры сторон:

Получим тот-же фрактал.

Те-же фракталы можно получить и в квадрате, если пускать луч под другим углом:

Что можно сказать в заключении?
Хаос - это тоже порядок. Со своими закономерностями. Порядок этот не изученный, но вполне поддающийся изучению. А все стремление науки - обнаружить эти закономерности. И в конечном итоге соединить детали головоломки, чтобы увидеть общую картину.
Давайте посмотрим на поверхность речки. Если бросить в нее камень - пойдут волны. Круги, вполне поддающиеся изучению. Скорость, период, длину волны - все это можно подсчитать. Но до тех пор, пока волна не дойдет до берега, не отразиться и не начнет накладываться на саму себя. Получим хаос (интерференцию), который уже трудно поддается изучению.
Что если двигаться от обратного? Упростить поведение волны на столько, на сколько это возможно. Упростить, найти закономерность и после этого попробовать описать уже полную картину происходящего.
Что можно упростить? Очевидно, что сделать отражающую поверхность прямой, без изгибов. Далее, вместо самой волны, использовать только вектор движения волны. В принципе, этого достаточно, чтобы построить простой алгоритм и смоделировать процесс на компьютере. И даже вполне достаточно, чтобы сделать «модель» поведения волны на обычном листке в клеточку.
Что имеем в результате? В результате видим, что в волновых процессах (та-же рябь на поверхности речки) имеем не хаос, а наложение фракталов (самоподобных структур) друг на друга.

Рассмотрим другой вид волн. Как известно, электромагнитная волна состоит из трех векторов - волновой вектор и вектора напряженности электрического и магнитного поля. Как видим, если «словить» такую волну в замкнутой области – там, где пересекаются эти вектора, получаем вполне четкие замкнутые структуры. Быть может, элементарные частицы – это такие-же фракталы?

Все фрактальчики в прямоугольниках от 1 до 80 (6723х6723 px):

Замкнутые области во фракталах (6723х6723 px):

Просто красивый фрактал (4078x2518 px):

Хаос - это порядок, который нужно расшифровать.

Жозе Сарамаго, «Двойник»

«Грядущим поколениям ХХ век будет памятен лишь благодаря созданию теорий относительности, квантовой механики и хаоса... теория относительности разделалась с иллюзиями Ньютона об абсолютном пространстве-времени, квантовая механика развеяла мечту о детерминизме физических событий, и, наконец, хаос развенчал Лапласову фантазию о полной предопределенности развития систем» . Эти слова известного американского историка и популяризатора науки Джеймса Глейка отражают огромную важность вопроса, который лишь вкратце освещается в статье, предлагаемой вниманию читателя. Наш мир возник из хаоса. Однако если бы хаос не подчинялся своим собственным законам, если бы в нем не было особой логики, он ничего не смог бы породить.

Новое - это хорошо забытое старое

Позволю себе еще одну цитату из Глейка:

Мысль о внутреннем подобии, о том, что великое может быть вложено в малое, издавна ласкает человеческую душу... По представлениям Лейбница, капля воды содержит в себе весь блистающий разноцветьем мир, где искрятся водяные брызги и живут другие неизведанные вселенные. «Увидеть мир в песчинке» - призывал Блейк, и некоторые ученые пытались следовать его завету. Первые исследователи семенной жидкости склонны были видеть в каждом сперматозоиде своего рода гомункулуса, т. е. крошечного, но уже полностью сформировавшегося человечка.

Ретроспективу подобных воззрений можно обратить гораздо дальше в глубь истории. Один из основных принципов магии - неотъемлемой ступени развития любого общества - состоит в постулате: часть подобна целому. Он проявлялся в таких действиях, как захоронение черепа животного вместо всего животного, модели колесницы вместо самой колесницы и т. д. Сохраняя череп предка, родственники считали, что он продолжает жить рядом с ними и принимать участие в их делах.

Еще древнегреческий философ Анаксагор рассматривал первичные элементы мироздания как частицы, подобные другим частицам целого и самому целому, «бесконечные и по множеству, и по малости». Аристотель характеризовал элементы Анаксагора прилагательным «подобочастные» .

А наш современник, американский кибернетик Рон Эглэш, исследуя культуру африканских племен и южноамериканских индейцев, сделал открытие: с древних времен некоторые из них использовали фрактальные принципы построения в орнаментах, узорах, наносимых на одежду и предметы быта, в украшениях, ритуальных обрядах и даже в архитектуре. Так, структура деревень некоторых африканских племен представляет собой круг, в котором находятся маленькие круги - дома, внутри которых еще более мелкие круги - дома духов. У иных племен вместо кругов элементами архитектуры служат другие фигуры, но они также повторяются в разных масштабах, подчиненных единой структуре. Причем эти принципы построения не были простым подражанием природе, но согласовывались с бытующим мировоззрением и социальной организацией .

Наша цивилизация, казалось бы, ушла далеко от первобытного существования. Однако мы продолжаем жить в том же мире, нас по-прежнему окружает природа, живущая по своим законам, несмотря на все попытки человека приспособить ее к своим нуждам. Да и сам человек (не будем забывать об этом) остается частью этой природы.

Герт Эйленбергер, немецкий физик, занявшийся изучением нелинейности, как-то заметил:

Почему силуэт согнувшегося под напором штормового ветра обнаженного дерева на фоне мрачного зимнего неба воспринимается как прекрасный, а очертания современного многофункционального здания, несмотря на все усилия архитектора, вовсе не кажутся такими? Сдается мне, что... наше чувство прекрасного «подпитывается» гармоничным сочетанием упорядоченности и беспорядка, которое можно наблюдать в естественных явлениях: облаках, деревьях, горных цепях или кристаллах снежинок. Все такие контуры суть динамические процессы, застывшие в физических формах, и для них типична комбинация устойчивости и хаотичности.

У истоков теории хаоса

Что мы понимаем под хаосом ? Невозможность предсказать поведение системы, беспорядочные скачки в разных направлениях, которые никогда не превратятся в упорядоченную последовательность.

Первым исследователем хаоса считается французский математик, физик и философ Анри Пуанкаре. Еще в конце XIX в. при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут быть непериодические орбиты, которые постоянно и не удаляются от конкретной точки, и не приближаются к ней.

Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, основаны на аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, плоскостями, сферами, метрическая и топологическая размерности которых равны между собой. В большинстве случаев свойства исследуемого объекта и его взаимодействие с окружающей средой описываются интегральными термодинамическими характеристиками, что приводит к утрате значительной части информации о системе и к замене ее на более или менее адекватную модель. Чаще всего подобное упрощение вполне оправдано, однако известны многочисленные ситуации, когда применение топологически неадекватных моделей недопустимо. Пример такого несоответствия привел в своей кандидатской диссертации (теперь уже доктор химических наук) Владимир Константинович Иванов: оно обнаруживается при измерении площади развитой (например, пористой) поверхности твердых тел с помощью сорбционных методов, регистрирующих изотермы адсорбции. Оказалось, что величина площади зависит от линейного размера молекул-«измерителей» не квадратично, чего следовало бы ожидать из простейших геометрических соображений, а с показателем степени, иногда вплотную приближающемся к трем .

Прогнозирование погоды - одна из проблем, над которой человечество бьется с древних времен. Существует известный анекдот на эту тему, где прогноз погоды передается по цепочке от шамана - оленеводу, затем геологу, потом редактору радиопередачи, и наконец круг замыкается, поскольку выясняется, что шаман узнал прогноз по радио. Описание такой сложной системы, как погода, со множеством переменных, невозможно свести к простым моделям. С данной задачи началось использование компьютеров для моделирования нелинейных динамических систем. Один из основоположников теории хаоса, американский метеоролог и математик Эдвард Нортон Лоренц много лет отдал проблеме прогнозирования погоды. Еще в 60-х годах прошлого века, пытаясь понять причины ненадежности прогнозов погоды, он показал, что состояние сложной динамической системы может сильно зависеть от начальных условий: незначительное изменение одного из многих параметров способно кардинально изменить ожидаемый результат. Лоренц назвал эту зависимость эффектом бабочки: «Сегодняшнее трепетание крыльев мотылька в Пекине через месяц может вызвать ураган в Нью-Йорке» . Ему принесла известность работа, посвященная общему круговороту атмосферы. Исследуя описывающую процесс систему уравнений с тремя переменными, Лоренц графически отобразил результаты своего анализа: линии графика представляют собой координаты точек, определяемых решениями в пространстве этих переменных (рис. 1). Полученная двойная спираль, названная аттрактор Лоренца (или «странный аттрактор»), выглядела как нечто бесконечно запутанное, но всегда расположенное в определенных границах и никогда не повторяющееся. Движение в аттракторе абстрактно (переменными могут быть скорость, плотность, температура и др.), и тем не менее оно передает особенности реальных физических явлений, таких как движение водяного колеса, конвекция в замкнутой петле, излучение одномодового лазера, диссипативные гармонические колебания (параметры которых играют роль соответствующих переменных).

Из тысяч публикаций, составивших специальную литературу по проблеме хаоса, вряд ли какая-либо цитировалась чаще, чем написанная Лоренцем в 1963 г. статья «Детерминистский непериодический поток» . Хотя благодаря компьютерному моделированию уже во времена этой работы предсказание погоды из «искусства превратилось в науку», долгосрочные прогнозы по-прежнему оставались недостоверными и ненадежными. Причина этого заключалась в том самом эффекте бабочки.

В тех же 60-х годах математик Стивен Смэйл из Калифорнийского университета собрал в Беркли исследовательскую группу из молодых единомышленников. Ранее он был удостоен медали Филдса за выдающиеся исследования в области топологии. Смэйл занимался изучением динамических систем, в частности нелинейных хаотических осцилляторов. Для воспроизведения всей неупорядоченности осциллятора ван дер Поля в фазовом пространстве он создал структуру, известную под названием «подкова» - пример динамической системы, имеющей хаотическую динамику.

«Подкова» (рис. 2) - точный и зримый образ сильной зависимости от начальных условий: никогда не угадаешь, где окажется начальная точка после нескольких итераций. Этот пример послужил толчком к изобретению русским математиком, специалистом по теории динамических систем и дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и топологии Дмитрием Викторовичем Аносовым «диффеоморфизмов Аносова» . Позже из этих двух работ выросла теория гиперболических динамических систем. Прошло десятилетие, прежде чем результаты работы Смэйла удостоились внимания представителей других дисциплин. «Когда это все же случилось, физики поняли, что Смэйл повернул целый раздел математики лицом к реальному миру» .

В 1972 г. математик из Мэрилендского университета Джеймс Йорк прочитал вышеупомянутую статью Лоренца, которая поразила его. Йорк увидел в статье живую физическую модель и посчитал своей святой обязанностью донести до физиков то, чего они не разглядели в работах Лоренца и Смэйла. Он направил копию статьи Лоренца Смэйлу. Тот изумился, обнаружив, что безвестный метеоролог (Лоренц) десятью годами раньше обнаружил ту неупорядоченность, которую он сам посчитал однажды математически невероятной, и разослал копии всем своим коллегам.

Биолог Роберт Мэй, друг Йорка, занимался изучением изменений численности популяций животных. Мэй шел по стопам Пьера Ферхлюста, который еще в 1845 г. обратил внимание на непредсказуемость изменения численности животных и пришел к выводу, что коэффициент прироста популяции - величина непостоянная. Иными словами, процесс оказывается нелинейным. Мэй пытался уловить, что случается с популяцией в момент приближения колебаний коэффициента роста к некоторой критической точке (точке бифуркации). Варьируя значения этого нелинейного параметра, он обнаружил, что возможны коренные перемены в самой сущности системы: увеличение параметра означало возрастание степени нелинейности, что, в свою очередь, изменяло не только количественные, но и качественные характеристики результата. Подобная операция влияла как на конечное значение численности популяции, находившейся в равновесии, так и на ее способность вообще достигнуть последнего. При определенных условиях периодичность уступала место хаосу, колебаниям, которые никогда не затухали.

Йорк математически проанализировал описанные явления в своей работе, доказав, что в любой одномерной системе происходит следующее: если появляется регулярный цикл с тремя волнами (плавными подъемами и спадами значений какого-либо параметра), то в дальнейшем система начнет демонстрировать как правильные циклы любой другой продолжительности, так и полностью хаотичные. (Как выяснилось через несколько лет после опубликования статьи на международной конференции в восточном Берлине, советский (украинский) математик Александр Николаевич Шарковский несколько опередил Йорка в своих исследованиях ). Йорк написал статью для известного научного издания «Американский математический ежемесячник» . Однако Йорк достиг большего, чем просто математический результат: он продемонстрировал физикам, что хаос вездесущ, стабилен и структурирован. Он дал повод поверить в то, что сложные системы, традиционно описывающиеся трудными для решения дифференциальными уравнениями, могут быть представлены с помощью наглядных графиков.

Мэй пытался привлечь внимание биологов к тому, что популяции животных переживают не одни лишь упорядоченные циклы. На пути к хаосу возникает целый каскад удвоения периодов. Именно в точках бифуркации некоторое увеличение плодовитости особей могло привести, например, к смене четырехгодичного цикла популяции непарного шелкопряда восьмигодичным. Американец Митчел Фейгенбаум решил начать с подсчета точных значений параметра, порождавших такие изменения. Его расчеты показывали, что не имело значения, какова начальная популяция, - она все равно неуклонно приближалась к аттрактору. Затем, с первым удвоением периодов, аттрактор, подобно делящейся клетке, раздваивался. Потом происходило следующее умножение периодов, и каждая точка аттрактора вновь начинала делиться. Число - инвариант, полученный Фейгенбаумом, - позволило ему предугадывать, когда именно это произойдет. Ученый обнаружил, что может прогнозировать этот эффект для сложнейшего аттрактора - в двух, четырех, восьми точках... Говоря языком экологии, он мог прогнозировать действительную численность, которая достигается в популяциях во время ежегодных колебаний. Так Фейгенбаум открыл в 1976 г. «каскад удвоения периода», опираясь на работу Мэя и свои исследования турбулентности. Его теория отражала естественный закон, который относится ко всем системам, испытывающим переход от упорядоченного состояния к хаосу. Йорк, Мэй и Файгенбаум первыми на Западе в полной мере осознали важность удвоения периодов и сумели передать эту идею всему научному сообществу. Мэй заявлял, что хаос необходимо преподавать.

Советские математики и физики продвигались в своих исследованиях независимо от зарубежных коллег. Начало изучению хаоса положили работы А. Н. Колмогорова 50-х годов. Но и идеи зарубежных коллег не оставались без их внимания. Пионерами теории хаоса считаются советские математики Андрей Николаевич Колмогоров и Владимир Игоревич Арнольд и немецкий математик Юрген Мозер, построившие теорию хаоса, называемую КАМ (теория Колмогорова - Арнольда - Мозера). Другой наш выдающийся соотечественник, блестящий физик и математик Яков Григорьевич Синай, применил в термодинамике соображения, аналогичные «подкове Смейла». Едва в 70-х годах с работой Лоренца познакомились западные физики, как она приобрела известность и в СССР. В 1975 г., когда Йорк и Мэй еще прилагали немалые усилия к тому, чтобы добиться внимания коллег, Синай и его товарищи организовали в Горьком исследовательскую группу для изучения этой проблемы.

В прошлом веке, когда узкая специализация и разобщение между различными дисциплинами стали в науке нормой, математики, физики, биологи, химики, физиологи, экономисты бились над схожими задачами, не слыша друг друга. Идеи, требующие изменения привычного мировоззрения, всегда с трудом пробивают себе путь. Однако постепенно стало ясно, что такие вещи, как изменение популяций животных, колебания цен на рынке, перемена погоды, распределение небесных тел по размерам и многое, многое другое, - подчиняются одним закономерностям. «Осознание этого факта заставило менеджеров пересмотреть отношение к страховке, астрономов - под другим углом зрения взглянуть на Солнечную систему, политиков - изменить мнение о причинах вооруженных конфликтов» .

К середине 80-х годов ситуация сильно изменилась. Идеи фрактальной геометрии объединили ученых, озадаченных собственными наблюдениями и не знавшими, как их интерпретировать. Для исследователей хаоса математика стала экспериментальной наукой, компьютеры заменили собой лаборатории. Графические изображения приобрели первостепенную важность. Новая наука дала миру особый язык, новые понятия: фазовый портрет, аттрактор, бифуркация, сечение фазового пространства, фрактал...

Бенуа Мандельброт, опираясь на идеи и работы предшественников и современников, показал, что такими сложными процессами, как рост дерева, образование облаков, вариации экономических характеристик или численности популяций животных управляют сходные, по сути, законы природы. Это определенные закономерности, по которым живет хаос. С точки зрения природной самоорганизации они намного проще, чем искусственные формы, привычные цивилизованному человеку. Сложными их можно признать лишь в контексте евклидовой геометрии, поскольку фракталы определяются посредством задания алгоритма, и, следовательно, могут быть описаны с помощью небольшого объема информации.

Фрактальная геометрия природы

Давайте попробуем разобраться, что же такое фрактал и «с чем его едят». А съесть некоторые из них действительно можно, как, например, типичного представителя, показанного на фотографии.

Слово фрактал происходит от латинского fractus - дробленый, сломанный, разбитый на куски. Под фракталом подразумевается математическое множество, обладающее свойством самоподобия, т. е. масштабной инвариантности.

Термин «фрактал» был придуман Мандельбротом в 1975 г. и получил широкую популярность с выходом в 1977 г. его книги «Фрактальная геометрия природы» . «Дайте чудовищу какое-нибудь уютное, домашнее имя, и вы удивитесь, насколько легче будет его приручить!» - говорил Мандельброт. Это стремление сделать исследуемые объекты (математические множества) близкими и понятными привело к рождению новых математических терминов, таких как пыль , творог , сыворотка , наглядно демонстрирующих их глубинную связь с природными процессами.

Математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким образом, отражает иерархический принцип организации. Конечно, различные ветви дерева, например, не могут быть точно совмещены друг с другом, но их можно считать подобными в статистическом смысле. Точно так же формы облаков, очертания гор, линия морского берега, рисунок пламени, сосудистая система, овраги, молния, рассматриваемые при различных масштабах, выглядят подобными. Хотя эта идеализация и может оказаться упрощением действительности, она существенно увеличивает глубину математического описания природы.

Понятие «природный фрактал» Мандельброт ввел для обозначения естественных структур, которые могут быть описаны с помощью фрактальных множеств. Эти природные объекты включают в себя элемент случайности. Созданная Мандельбротом теория позволяет количественно и качественно описывать все те формы, которые ранее назывались спутанными, волнистыми, шероховатыми и т. д.

Динамические процессы, о которых шла речь выше, так называемые процессы с обратной связью, возникают в различных физических и математических задачах. Все они имеют одно общее - конкуренцию нескольких центров (получивших имя «аттракторы») за доминирование на плоскости. То состояние, в котором система оказалась после некоторого числа итераций, зависит от ее «места старта». Поэтому каждому аттрактору соответствует некоторая область начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемое конечное состояние. Таким образом, фазовое пространство системы (абстрактное пространство параметров, ассоциированных с конкретной динамической системой, точки в котором однозначно характеризуют все возможные ее состояния) разбивается на области притяжения аттракторов. Налицо своеобразный возврат к динамике Аристотеля, согласно которой каждое тело стремится к предназначенному ему месту . Простые границы между «сопредельными территориями» в результате такого соперничества возникают редко. Именно в этой пограничной области и происходит переход от одной формы существования к другой: от порядка к хаосу. Общий вид выражения для динамического закона очень прост: х n+1 → f х n C . Вся сложность состоит в нелинейной зависимости между начальным значением и результатом. Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого произвольного значения \(x_0 \), то результатом его будет последовательность \(x_1 \), \(x_2 \), ..., которая либо будет сходиться к некоторому предельному значению \(X \), стремясь к состоянию покоя, либо придет к некоторому циклу значений, которые будут повторяться вновь и вновь, либо будет все время вести себя беспорядочно и непредсказуемо . Именно такие процессы исследовали еще во время Первой мировой войны французские математики Гастон Жюлиа и Пьер Фато.

Изучая множества, открытые ими, Мандельброт в 1979 г. пришел к изображению на комплексной плоскости образа, который является, как будет ясно из дальнейшего, своего рода оглавлением целого класса форм, именующегося множествами Жюлиа. Множество Жюлиа - это множество точек, возникающее в результате итерирования квадратичного преобразования: х n → х n−1 2 + C , динамика в окрестности которых неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. Каждое последовательное значение \(x \) получается из предыдущего; комплексное число \(C \) называется управляющим параметром . Поведение последовательности чисел зависит от параметра \(C \) и начальной точки \(x_0 \). Если зафиксировать \(C \) и изменять \(x_0 \) в поле комплексных чисел, мы получим множество Жюлиа. Если же зафиксировать \(x_0 \) = 0 и изменять \(C \), получим множество Мандельброта (\(M \)). Оно подсказывает нам, какого вида множества Жюлиа следует ожидать при конкретном выборе \(C \). Каждое комплексное число \(C \) либо принадлежит области \(M \) (черной на рис. 3), либо нет. \(C \) принадлежит \(M \) тогда и только тогда, когда «критическая точка» \(x_0 \) = 0 не стремится к бесконечности. Множество \(M \) состоит из всех точек \(C \), которые ассоциируются со связными множествами Жюлиа, если же точка \(C \) лежит вне множества \(M \), ассоциированное с ней множество Жюлиа несвязно. Граница множества \(M \) определяет момент математического фазового перехода для множеств Жюлиа х n → х n−1 2 + C . Когда параметр \(C \) покидает \(M \), множества Жюлиа теряют свою связность, образно говоря, взрываются и превращаются в пыль. Качественный скачок, происходящий на границе \(M \), влияет и на примыкающую к границе область. Сложную динамическую структуру пограничной области можно приближенно показать, окрашивая (условно) в разные цвета зоны с одинаковым временем «убегания в бесконечность начальной точки \(x_0 \) = 0». Те значения \(C \) (один оттенок), при которых критической точке требуется данное число итераций, чтобы оказаться вне круга радиусом \(N \), заполняют промежуток между двумя линиями. По мере приближения к границе \(M \) необходимое число итераций увеличивается. Точка все большее время вынуждена блуждать извилистыми путями вблизи множества Жюлиа. Множество Мандельброта воплощает в себе процесс перехода от порядка к хаосу.

Интересно проследить путь, которым Мандельброт шел к своим открытиям. Бенуа родился в Варшаве в 1924 г., в 1936 семья эмигрировала в Париж. Окончив Политехническую школу, а затем и университет в Париже, Мандельброт переехал в США, где отучился еще и в Калифорнийском технологическом институте. В 1958 г. он устроился в научно-исследовательский центр IBM в Йорктауне. Несмотря на чисто прикладную деятельность компании, занимаемая должность позволяла ему вести исследования в самых разных областях. Работая в области экономики, молодой специалист занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более 100 лет). Анализируя симметрию длительных и кратковременных колебаний цен, он заметил, что эти колебания в течение дня казались случайными и непредсказуемыми, однако последовательность таких изменений не зависела от масштаба. Для решения этой задачи он впервые использовал свои разработки будущей фрактальной теории и графическое отображение исследуемых процессов.

Интересуясь самыми разными областями науки, Мандельброт обратился к математической лингвистике, затем наступил черед теории игр. Он также предложил собственный подход к экономике, указав на упорядоченность масштабов в распространении малых и больших городов. Изучая малоизвестную работу английского ученого Льюиса Ричардсона, вышедшую после смерти автора, Мандельброт столкнулся с феноменом береговой линии. В статье «Какова длина береговой линии Великобритании?» он подробно исследует этот вопрос, над которым мало кто задумывался до него, и приходит к неожиданным выводам: длина береговой линии равна... бесконечности! Чем точнее вы стараетесь ее измерить, тем большим получается ее значение!

Для описания подобных явлений Мандельброту пришло в голову отталкиваться от идеи размерности. Фрактальная размерность объекта служит количественной характеристикой одной из его особенностей, а именно - заполнения им пространства.

Определение понятия фрактальной размерности восходит к работе Феликса Хаусдорфа, опубликованной в 1919 г., и было окончательно сформулировано Абрамом Самойловичем Безиковичем. Фрактальная размерность - мера детализации, изломанности, неровности фрактального объекта. В евклидовом пространстве топологическая размерность всегда определяется целым числом (размерность точки - 0, линии - 1, плоскости - 2, объемного тела - 3). Если проследить, например, проекцию на плоскость движения броуновской частицы, которая вроде бы должна состоять из отрезков прямой, т. е. иметь размерность 1, очень скоро окажется, что след ее заполняет почти всю плоскость. Но размерность плоскости - 2. Расхождение между этими величинами и дает нам право отнести данную «кривую» к фракталам, а ее промежуточную (дробную) размерность называть фрактальной. Если рассмотреть хаотическое движение частицы в объеме, фрактальная размерность траектории окажется больше 2, но меньше 3. Артерии человека, например, имеют фрактальную размерность примерно 2,7. Упомянутые в начале статьи результаты Иванова, относящиеся к измерению площади пор силикагеля, которые не могут быть истолкованы в рамках обычных евклидовых представлений, при использовании теории фракталов находят разумное объяснение .

Итак, с математической точки зрения, фракталом называется множество, для которого размерность Хаусдорфа - Безиковича строго больше его топологической размерности и может быть (а чаще всего и является) дробной.

Необходимо особо подчеркнуть, что фрактальная размерность объекта не описывает его форму, и объекты, имеющие одинаковую размерность, но порожденные различными механизмами образования, зачастую совершенно не похожи друг на друга. Физические фракталы обладают скорее статистическим самоподобием.

Дробное измерение позволяет вычислять характеристики, которые не могут быть четко определены иным путем: степени неровности, прерывистости, шероховатости или неустойчивости какого-либо объекта. Например, извилистая береговая линия, несмотря на неизмеримость ее длины, обладает присущей только ей шероховатостью. Мандельброт указал пути расчета дробных измерений объектов окружающей действительности. Создавая свою геометрию, он выдвинул закон о неупорядоченных формах, которые встречаются в природе. Закон гласил: степень нестабильности постоянна при различных масштабах.

Особую разновидность фракталов составляют временные фракталы . В 1962 г. Мандельброт столкнулся с задачей по устранению шумов в телефонных линиях, которые вызвали проблемы для компьютерных модемов. Качество передачи сигнала зависит от вероятности возникновения ошибок. Инженеры бились над проблемой уменьшения шумов, придумывая головоломные и дорогостоящие приемы, но не получали впечатляющих результатов. Опираясь на работу основателя теории множеств Георга Кантора, Мандельброт показал, что возникновения шумов - порождения хаоса - невозможно избежать в принципе, поэтому предложенные способы борьбы с ними не принесут результата. В поисках закономерности возникновения шумов он получает «канторову пыль» - фрактальную последовательность событий. Интересно, что тем же закономерностям подчиняется распределение звезд в Галактике:

«Вещество», однородно распределенное вдоль инициатора (единичный отрезок временной оси), подвергается воздействию центробежного вихря, который «сметает» его к крайним третям интервала... Створаживанием можно называть любой каскад неустойчивых состояний, приводящий в итоге к сгущению вещества, а термин творог может определять объем, внутри которого некая физическая характеристика становится - в результате створаживания - чрезвычайно концентрированной.

Хаотические явления, такие как турбулентность атмосферы, подвижность земной коры и т. д., демонстрируют сходное поведение в различных временных масштабах подобно тому, как объекты, обладающие инвариантностью к масштабу, обнаруживают сходные структурные закономерности в различных пространственных масштабах.

В качестве примера приведем несколько характерных ситуаций, где полезно использовать представления о фрактальной структуре. Профессор Колумбийского университета Кристофер Шольц специализировался на изучении формы и строения твердого вещества Земли, он изучал землетрясения. В 1978 г. он прочитал книгу Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность» и попытался применить теорию к описанию, классификации и измерению геофизических объектов. Шольц выяснил, что фрактальная геометрия снабдила науку эффективным методом описания специфичного бугристого ландшафта Земли. Фрактальное измерение ландшафтов планеты открывает двери к постижению ее важнейших характеристик. Металлурги обнаружили то же самое на другом масштабном уровне - применительно к поверхностям различных типов стали. В частности, фрактальное измерение поверхности металла зачастую позволяет судить о его прочности. Огромное количество фрактальных объектов продуцирует явление кристаллизации. Самый распространенный тип фракталов, возникающих при росте кристаллов, - дендриты, они чрезвычайно широко распространены в живой природе. Ансамбли наночастиц часто демонстрируют реализацию «пыли Леви». Эти ансамбли в сочетании с абсорбированным растворителем образуют прозрачные компакты - стекла Леви, потенциально важные материалы фотоники .

Поскольку фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур, понятно, что такая область математики стала развиваться семимильными шагами вместе с появлением и развитием мощных компьютеров. Хаос, в свою очередь, вызвал к жизни новые компьютерные технологии, специальную графическую технику, которая способна воспроизводить удивительные структуры невероятной сложности, порождаемые теми или иными видами беспорядка. В век Интернета и персональных компьютеров то, что представляло значительную сложность во времена Мандельброта, стало легко доступным любому желающему. Но самым важным в его теории стало, разумеется, не создание красивых картинок, а вывод, что данный математический аппарат пригоден для описания сложных природных явлений и процессов, которые раньше не рассматривались в науке вообще. Репертуар алгоритмических элементов неисчерпаем.

Овладев языком фракталов, можно описать форму облака так же четко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии. <...> Прошло всего несколько десятилетий с тех пор, как Бенуа Мандельброт заявил: «Геометрия природы фрактальна!», на сегодняшний день мы уже можем предположить намного больше, а именно что фрактальность - это первоочередной принцип построения всех без исключения природных объектов.

В заключение позвольте представить вашему вниманию набор фотографий, иллюстрирующих этот вывод, и фракталов, построенных с помощью компьютерной программы Fractal Explorer . А проблеме использования фракталов в физике кристаллов будет посвящена наша следующая статья.

Post Scriptum

С 1994 по 2013 г. в пяти томах вышел уникальный труд отечественных ученых «Атлас временных вариаций природных антропогенных и социальных процессов» - не имеющий аналогов источник материалов, который включает в себя данные мониторинга космоса, биосферы, литосферы, атмосферы, гидросферы, социальной и техногенной сфер и сферы, связанной со здоровьем и качеством жизни человека. В тексте подробно приводятся данные и результаты их обработки, сопоставляются особенности динамики временных рядов и их фрагментов. Унифицированное представление результатов дает возможность получить сопоставимые результаты для выявления общих и индивидуальных черт динамики процессов и причинно-следственных связей между ними. На экспериментальном материале показано, что процессы в разных сферах, во-первых, схожи, а во-вторых, в большей или меньшей степени связаны друг с другом.

Итак, атлас обобщил результаты междисциплинарных исследований и представил сравнительный анализ совершенно различных данных в широчайшем диапазоне времени и пространства. Книга показывает, что «протекающие в земных сферах процессы обусловлены большим числом взаимодействующих факторов, которые в разных областях (и в разное время) вызывают разную реакцию», что говорит о «необходимости комплексного подхода к анализу геодинамических, космических, социальных, экономических и медицинских наблюдений». Остается выразить надежду на то, что эти фундаментальные по значимости работы будут продолжены.

Всем здравствуйте! Меня зовут,Рибенек Валерия, г.Ульяновск и сегодня я выложу несколько своих научных статей на сайте ЛКИ.

Первая моя научная статья в этом блоге будет посвящена фракталам . Скажу сразу, что мои статьи рассчитаны почти на любую аудиторию. Т.е. они, надеюсь, будут интересны, как школьникам, так и студентам.

Недавно я узнала о таких интереснейших объектах математического мира как фракталы. Но существуют они не только в математике. Они окружают нас повсюду. Фракталы бывают природные. О том, что такое фракталы, о видах фракталов, о примерах этих объектов и их применении я и расскажу в этой статье. Для начала кратко расскажу, что такое фрактал.

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре в целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической. Для примера я вставлю картинку с изображением четырех разных фракталов.

Расскажу немного об истории фракталов. Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» было введено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта The Fractal Geometry of Nature. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Примеров фракталов можно привести массу, потому что, как и говорила, они окружают нас повсюду. По-моему, даже вся наша Вселенная — это один огромный фрактал. Ведь все в ней, от строения атома до строения самой Вселенной, в точности повторяет друг друга. Но есть, конечно, и более конкретные примеры фракталов из разных областей. Фракталы, к примеру, присутствуют в комплексной динамике. Там они естественным образом появляются при изучении нелинейных динамических систем . Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функцией комплекса переменных на плоскости. Одними из самых известных фракталов такого вида являются множество Жюлиа, множество Мандельброта и бассейны Ньютона. Ниже по порядку на картинки изображены каждый из вышеперечисленных фракталов.

Еще одним примером фракталов являются фрактальные кривые. Объяснить, как строиться фрактал лучше всего именно на примере фрактальных кривых. Одной из таких кривых является, так называемая, Снежинка Коха. Существует простая процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. Ниже показана Снежинка (или кривая) Коха.

Фрактальных кривых так же существует огромное множество. Самые известные из них — это, уже упомянутая, Снежинка Коха, а также кривая Леви, кривая Минковского, ломанная Дракона, кривая Пиано и дерево Пифагора. Изображение данных фракталов и их историю, я думаю, при желании вы легко сможете найти в Википедии.

Третьим примером или видом фракталов являются стохастические фракталы. К таким фракталам можно отнести траекторию броуновского движения на плоскости и в пространстве, эволюции Шрамма-Лёвнера, различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр.

Существуют так же чисто математические фракталы. Это, например, канторово множество, губка Менгера, Треугольник Серпинского и другие.

Но самые, пожалуй, интересные фракталы — это природные. Природные фракталы — это такие объекты в природе, которые обладают фрактальными свойствами. И тут уже список большой. Я не буду перечислять все, потому что, наверное, всех и не перечислить, но о некоторых расскажу. Вот, к примеру, в живой природе к таким фракталам относятся наша кровеносная система и легкие. А еще кроны и листья деревьев. Так же сюда можно отнести морских звезд, морских ежей, кораллы, морские раковины, некоторые растения, такие как капуста или брокколи. Ниже наглядно показаны несколько таких природных фракталов из живой природы.

Если же рассматривать неживую природу, то там интересных примеров гораздо больше, нежели в живой. Молнии, снежинки, облака, всем известные, узоры на окнах в морозные дни, кристаллики, горные хребты — все это является примерами природных фракталов из неживой природы.

Примеры и виды фракталы мы рассмотрели. Что же касается применения фракталов, то они применяются в самых разных областях знаний. В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать ее при вычислении протяженности береговой линии. Так же фракталы активно используются в радиотехнике, в информатике и компьютерных технологиях, телекоммуникациях и даже экономике. Ну и, конечно же, фрактальное видение, активно используется в современном искусстве и архитектуре. Вот один из примеров фрактальных картин:

И так, на этом я думаю завершить свой рассказ о таком необычном математическом явлении как фрактал. Сегодня мы узнали о том, что такое фрактал, как он появился, о видах и о примерах фракталов. А так же я рассказала о их применении и продемонстрировала некоторые из фракталов наглядно. Надеюсь, вам понравилась эта небольшая экскурсия в мир удивительных и завораживающих фрактальных объектов.

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д. , то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово «фрактал» не является математическим термином. Обычно фракталом называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств: Обладает сложной структурой при любом увеличении масштаба (в отличие от, например, прямой, любая часть которой является простейшей геометрической фигурой — отрезком). Является (приближенно) самоподобной. Обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью, которая больше топологической. Может быть построена рекурсивными процедурами.

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Фрактальные размерности

Как известно, размерность (число измерений) геометрической фигуры — это число координат, необходимых для определения положения лежащей на этой фигуре точки.
Например, положение точки на кривой определяется одной координатой, на поверхности (не обязательно плоскости) двумя координатами, в трёхмерном пространстве тремя координатами.
С более общей математической точки зрения, можно определить размерность таким образом: увеличение линейных размеров, скажем, в два раза, для одномерных (с топологической точки зрения) объектов (отрезок) приводит к увеличению размера (длины) в два раза, для двумерных (квадрат) такое же увеличение линейных размеров приводит к увеличению размера (площади) в 4 раза, для трехмерных (куб) — в 8 раз. То есть «реальную» (т.н. Хаусдорфову) размерность можно подсчитать в виде отношения логарифма увеличения «размера» объекта к логарифму увеличения его линейного размера. То есть для отрезка D=log (2)/log (2)=1, для плоскости D=log (4)/log (2)=2, для объема D=log (8)/log (2)=3.
Подсчитаем теперь размерность кривой Коха, для построения которой единичный отрезок делят на три равные части и заменяют средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. При увеличении линейных размеров минимального отрезка в три раза длина кривой Коха возрастает в log (4)/log (3)~1,26. То есть размерность кривой Коха — дробная!

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Схема получения кривой Коха

Война и мир

Как уже отмечалось выше, один из природных объектов, имеющих фрактальные свойства, — это береговая линия. С ним, а точнее, с попыткой измерить его длину, связана одна интересная история, которая легла в основу научной статьи Мандельброта, а также описана в его книге «Фрактальная геометрия природы». Речь идет об эксперименте, который поставил Льюис Ричардсон — весьма талантливый и эксцентричный математик, физик и метеоролог. Одним из направлений его исследований была попытка найти математическое описание причин и вероятности возникновения вооруженного конфликта между двумя странами. В числе параметров, которые он учитывал, была протяженность общей границы двух враждующих стран. Когда он собирал данные для численных экспериментов, то обнаружил, что в разных источниках данные об общей границе Испании и Португалии сильно отличаются. Это натолкнуло его на следующее открытие: длина границ страны зависит от линейки, которой мы их измеряем. Чем меньше масштаб, тем длиннее получается граница. Это происходит из-за того, что при большем увеличении становится возможным учитывать все новые и новые изгибы берега, которые раньше игнорировались из-за грубости измерений. И если при каждом увеличении масштаба будут открываться ранее не учтенные изгибы линий, то получится, что длина границ бесконечна! Правда, на самом деле этого не происходит — у точности наших измерений есть конечный предел. Этот парадокс называется эффектом Ричардсона.

Конструктивные (геометрические) фракталы

Алгоритм построения конструктивного фрактала в общем случае таков. Прежде всего нам нужны две подходящие геометрические фигуры, назовем их основой и фрагментом. На первом этапе изображается основа будущего фрактала. Затем некоторые ее части заменяются фрагментом, взятым в подходящем масштабе, — это первая итерация построения. Затем у полученной фигуры снова некоторые части меняются на фигуры, подобные фрагменту, и т. д. Если продолжить этот процесс до бесконечности, то в пределе получится фрактал.

Рассмотрим этот процесс на примере кривой Коха (см. врезку на предыдущей странице). За основу кривой Коха можно взять любую кривую (для «снежинки Коха» это треугольник). Но мы ограничимся простейшим случаем — отрезком. Фрагмент — ломаная, изображенная сверху на рисунке. После первой итерации алгоритма в данном случае исходный отрезок совпадет с фрагментом, затем каждый из составляющих его отрезков сам заменится на ломаную, подобную фрагменту, и т. д. На рисунке показаны первые четыре шага этого процесса.

Языком математики: динамические (алгебраические) фракталы

Фракталы этого типа возникают при исследовании нелинейных динамических систем (отсюда и название). Поведение такой системы можно описать комплексной нелинейной функцией (многочленом) f (z). Возьмем какую-нибудь начальную точку z0 на комплексной плоскости (см. врезку). Теперь рассмотрим такую бесконечную последовательность чисел на комплексной плоскости, каждое следующее из которых получается из предыдущего: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). В зависимости от начальной точки z0 такая последовательность может вести себя по‑разному: стремиться к бесконечности при n -> ∞; сходиться к какой-то конечной точке; циклически принимать ряд фиксированных значений; возможны и более сложные варианты.

Комплексные числа

Комплексное число — это число, состоящее из двух частей — действительной и мнимой, то есть формальная сумма x + iy (x и y здесь — вещественные числа). i — это т.н. мнимая единица, то есть то есть число, удовлетворяющее уравнению i^ 2 = -1. Над комплексными числами определены основные математические операции — сложение, умножение, деление, вычитание (не определена только операция сравнения). Для отображения комплексных чисел часто используется геометрическое представление — на плоскости (ее называют комплексной) по оси абсцисс откладывают действительную часть, а по оси ординат — мнимую, при этом комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами x и y.

Таким образом, любая точка z комплексной плоскости имеет свой характер поведения при итерациях функции f (z), а вся плоскость делится на части. При этом точки, лежащие на границах этих частей, обладают таким свойством: при сколь угодно малом смещении характер их поведения резко меняется (такие точки называют точками бифуркации). Так вот, оказывается, что множества точек, имеющих один конкретный тип поведения, а также множества бифуркационных точек часто имеют фрактальные свойства. Это и есть множества Жулиа для функции f (z).

Семейство драконов

Варьируя основу и фрагмент, можно получить потрясающее разнообразие конструктивных фракталов.
Более того, подобные операции можно производить и в трехмерном пространстве. Примерами объемных фракталов могут служить «губка Менгера», «пирамида Серпинского» и другие.
К конструктивным фракталам относят и семейство драконов. Иногда их называют по имени первооткрывателей «драконами Хейвея-Хартера» (своей формой они напоминают китайских драконов). Существует несколько способов построения этой кривой. Самый простой и наглядный из них такой: нужно взять достаточно длинную полоску бумаги (чем тоньше бумага, тем лучше), и согнуть ее пополам. Затем снова согнуть ее вдвое в том же направлении, что и в первый раз. После нескольких повторений (обычно через пять-шесть складываний полоска становится слишком толстой, чтобы ее можно было аккуратно гнуть дальше) нужно разогнуть полоску обратно, причем стараться, чтобы в местах сгибов образовались углы в 90˚. Тогда в профиль получится кривая дракона. Разумеется, это будет лишь приближение, как и все наши попытки изобразить фрактальные объекты. Компьютер позволяет изобразить гораздо больше шагов этого процесса, и в результате получается очень красивая фигура.

Множество Мандельброта строится несколько иначе. Рассмотрим функцию fc (z) = z 2 +с, где c — комплексное число. Построим последовательность этой функции с z0=0, в зависимости от параметра с она может расходиться к бесконечности или оставаться ограниченной. При этом все значения с, при которых эта последовательность ограничена, как раз и образуют множество Мандельброта. Оно было детально изучено самим Мандельбротом и другими математиками, которые открыли немало интересных свойств этого множества.

Видно, что определения множеств Жулиа и Мандельброта похожи друг на друга. На самом деле эти два множества тесно связаны. А именно, множество Мандельброта — это все значения комплексного параметра c, при которых множество Жулиа fc (z) связно (множество называется связным, если его нельзя разбить на две непересекающиеся части, с некоторыми дополнительными условиями).

Фракталы и жизнь

В наши дни теория фракталов находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности. Помимо чисто научного объекта для исследований и уже упоминавшейся фрактальной живописи, фракталы используются в теории информации для сжатия графических данных (здесь в основном применяется свойство самоподобия фракталов — ведь чтобы запомнить небольшой фрагмент рисунка и преобразования, с помощью которых можно получить остальные части, требуется гораздо меньше памяти, чем для хранения всего файла). Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить стохастические фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты — элементы рельефа, поверхность водоемов, некоторые растения, что с успехом применяется в физике, географии и компьютерной графике для достижения большего сходства моделируемых предметов с настоящими. В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала. Экономисты используют фракталы для описания кривых колебания курсов валют (это свойство было открыто Мандельбротом более 30 лет назад). На этом мы завершим эту небольшую экскурсию в удивительный по красоте и разнообразию мир фракталов.